Question

4．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≤4}\\{3x-2y≤6}\end{array}\right.$，則z=3x+y的取值范圍為[6，18]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到最大值．

解答 解：約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≤4}\\{3x-2y≤6}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+y得y=-3x+z，
平移直線y=-3x+z，
則由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)直線y=-3x+z的截距最大，
此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{3x-2y=6}\end{array}\right.$得A（$\frac{14}{3}$，4），
此時(shí)z=3×$\frac{14}{3}$+4=18，
當(dāng)直線y=-3x+z經(jīng)過(guò)B時(shí)，取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=6}\\{x=2}\end{array}\right.$解得B（2，0），
目標(biāo)函數(shù)的最小值為：6．
則z=3x+y的取值范圍為：[6，18]．
故答案為：[6，18]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．