【題目】已知點.若曲線上存在,兩點,使為正三角形,則稱為型曲線.給定下列三條曲線:
①;
②;
③.
其中型曲線的個數(shù)是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
對于①,A(-1,1)到直線y=-x+3的距離為,若直線上存在兩點B,C,使△ABC為正三角形,則|AB|=|AC|=,以A為圓心,以為半徑的圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=6,聯(lián)立
解得,或,后者小于0,所以對應(yīng)的點不在曲線上,所以①不是.
對于②,化為,圖形是第二象限內(nèi)的四分之一圓弧,此時連接A點與圓弧和兩坐標(biāo)軸交點構(gòu)成的三角形頂角最小為135°,所以②不是.
對于③,根據(jù)對稱性,若上存在兩點B、C使ABC構(gòu)成正三角形,則兩點連線的斜率為1,設(shè)BC所在直線方程為x-y+m=0,由題意知A到直線距離為直線被所截弦長的倍,列方程解得m=-,所以曲線③是T型線.
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【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點,線段的中點為,直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點.
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點分別為、,點的坐標(biāo)為,直線的斜率為,求由四點、、、所圍成四邊形的面積.
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【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,E是線段SD上一點.
(1)若E是SD的中點,求證:SB∥平面ACE;
(2)若SA=AB=AD=2,SC=2,且DEDS,求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
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【題目】已知橢圓E:過點(0,1)且離心率.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓E有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)為曲線上的點,,垂足為,若的最小值為,求的值.
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【題目】如圖所示,直四棱柱的側(cè)棱長為,底面是邊長的矩形,為的中點,
(1)求證:平面,
(2)求異面直線與所成的角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示).
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【題目】設(shè)為正整數(shù),若兩個項數(shù)都不小于的數(shù)列,滿足:存在正數(shù),當(dāng)且時,都有,則稱數(shù)列,是“接近的”.已知無窮等比數(shù)列滿足,無窮數(shù)列的前項和為,,且,.
(1)求數(shù)列通項公式;
(2)求證:對任意正整數(shù),數(shù)列,是“接近的”;
(3)給定正整數(shù),數(shù)列,(其中)是“接近的”,求的最小值,并求出此時的(均用表示).(參考數(shù)據(jù):)
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【題目】為響應(yīng)綠色出行,某市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成:①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費;②行駛時間不超過分時,按元/分計費;超過分時,超出部分按元/分計費.已知王先生家離上班地點公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素,每次路上開車花費的時間 (分)是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了次路上開車花費時間,在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示:
時間(分) | ||||
頻數(shù) |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分.(1)寫出王先生一次租車費用(元)與用車時間(分)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”,設(shè)表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】關(guān)于函數(shù),給出以下四個命題:(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減且沒有最值;(2)方程一定有實數(shù)解;(3)如果方程(為常數(shù))有解,則解得個數(shù)一定是偶數(shù);(4)是偶函數(shù)且有最小值.其中假命題的序號是____________.
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