Question

1．已知橢圓C的普通方程為：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅰ） 設y=2t，求橢圓C以t為參數的參數方程；
（Ⅱ） 設C與x軸的正半軸和y軸的正半軸的交點分別為A、B，點P是C上位于第一象限的動點，求四邊形AOBP面積的最大值．（其中O為坐標原點）

Answer 1

分析 （Ⅰ）將y=2t代入橢圓的普通方程得${x^2}=9（1-\frac{{4{t^2}}}{4}）=9（1-{t^2}）$，解出即可得到參數方程．
（Ⅱ）依題意知點A（3，0），B（0，2），設點P的坐標為（3cosθ，2sinθ），$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，則S_{四邊形AOBP}=S_△BPO+S_△OPA，利用三角函數和差公式及其單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）將y=2t代入橢圓的普通方程得${x^2}=9（1-\frac{{4{t^2}}}{4}）=9（1-{t^2}）$，
于是得$x=±3\sqrt{1-{t^2}}$，
∴橢圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{1-{t^2}}\\ y=2t.\end{array}\right.$（t為參數）和$\left\{\begin{array}{l}x=-3\sqrt{1-{t^2}}\\ y=2t.\end{array}\right.$（t為參數）．
（Ⅱ）依題意知點A（3，0），B（0，2），
設點P的坐標為（3cosθ，2sinθ），$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，
則S_{四邊形AOBP}=S_△BPO+S_△OPA=$\frac{1}{2}×2×3cosθ+\frac{1}{2}×3×2sinθ$=$3sinθ+3cosθ=3\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，
當$sin（θ+\frac{π}{4}）=1$，即$θ=\frac{π}{4}$時，四邊形AOBP面積取得最大值，其值為$3\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的參數方程及其應用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．