Question

(本小題滿分13分)
設定義在R上的函數(shù)f(x)＝a₀x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄(a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R)當x＝－1時，f(x)取得極大值，且函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1,0)對稱.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達式；
(Ⅱ)試在函數(shù)y＝f(x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間[－，]上；
(Ⅲ)設x_n＝，y_m＝(m，n∈N^?)，求證：|f(x_n)－f(y_m)|<.

Answer 1

解：(Ⅰ)將函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象向右平移一個單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，
∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0,0)對稱，即函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，
∴f(x)＝a₁x³＋a₃x.
∴f′(x)＝3a₁x²＋a₃.
由題意得：.
所以，f(x)＝x³－x.經(jīng)檢驗滿足題意.                                 (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f′(x)＝x²－1.
故設所求兩點為(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))，(x₁，x₂∈[－，])
得f′(x₁)·f′(x₂)＝(x－1)(x－1)＝－1.
∵x－1，x－1∈[－1,1]，
∴或
∴或
∴滿足條件的兩點的坐標為：(0,0)，或(0,0)，.            (8分)
(Ⅲ)∵x_n＝＝1－，(n∈N)
∴x_n∈
當x∈時，導函數(shù)f′(x)<0，即函數(shù)f(x)在上遞減，
得f(x_n)∈，
即f(x_n)∈.
易知y_m∈，用導數(shù)可求f(y_m)在(－，－1)上遞增；在(－1，－)上遞減，
∵f(－)＝·(－)³＋＝，
f(－)＝·(－)³＋＝，
∴f(－)<f(－)，
∴f(y_m)∈(f(－)，f(－1)]，
即f(y_m)∈.
∴|f(x_n)－f(y_m)|＝f(y_m)－f(x_n)<－(－)＝.  

略