Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知集合{（x，y）|0≤y≤x²，且0≤x≤1}所表示的圖形的面積為

1

3

，若集合M={（x，y）||y|-|x|≤1}，N={（x，y）||y|≥x²+1}，則M∩N所表示的圖形面積為（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、1
• D、

  4

  3

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)A（1，1），根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合題意可得線段OA與拋物線弧OA圍成的弓形面積S=

1

6

．再對集合M、N加以分析，得到M∩N所表示的圖形的面積恰好等于線段OA與拋物線弧OA圍成的弓形面積的4倍，由此可得本題答案．

解答： 解：設(shè)A（1，1），B（1，0），O為坐標(biāo)原點．
則集合P={（x，y）|0≤y≤x²，且0≤x≤1}表示的圖形，是以線段AB、0B與拋物線弧OA圍成的曲邊三角形OAB．
∵集合P表示的圖形的面積為

1

3

，△OAB的面積S_△OAB=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴由線段OA與拋物線弧OA圍成的弓形面積S=

1

2

-

1

3

=

1

6

．
∵集合M={（x，y）||y|-|x|≤1}，N={（x，y）||y|≥x²+1}，
∴M∩N所表示的圖形有兩部分（如圖所示），
其一是在函數(shù)y=|x|+1下方且在拋物線y=x²+1上方的部分，其二是在函數(shù)
y=-|x|-1上方且在拋物線y=-x²-1下方的部分．
因此，M∩N所表示的圖形的面積，恰好等于線段OA與拋物線弧OA圍成的弓形面積的4倍．
∴M∩N所表示的圖形面積為4×

1

6

=

2

3

．
故選：B

點評：本題給出集合{（x，y）|0≤y≤x²，且0≤x≤1}所表示的圖形的面積，依此求集合M∩N所表示的圖形的面積．著重考查了函數(shù)圖象的作法、不等式組表示的平面區(qū)域、組合圖形的面積計算等知識，屬于中檔題．