Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

+

3-x

（1）計(jì)算f（

5

4

），f（

3

2

），f（

11

4

），f（

5

2

）的值，據(jù)此提出一個(gè)猜想，并予以證明；
（2）證明：除點(diǎn)（2，2）外，函數(shù)f（x）=

x-1

+

3-x

的圖象均在直線(xiàn)y=2的下方．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式計(jì)算f（

5

4

），f（

3

2

），f（

11

4

），f（

5

2

）的值，然后進(jìn)行猜想；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性先證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x-1

+

3-x

，
∴f(

5

4

)=f(

11

4

)=

7 +1

2

，f(

3

2

)=f(

5

2

)=

2 + 6

2

，
猜想：f（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，下面證明猜想的正確性；
∵f（4-x）=

(4-x)-1

+

3-(4-x)

=

3-x

+

x-1

=f(x)，
∴f（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)．
（2）∵f（x）=

x-1

+

3-x

的定義域?yàn)閇1，3]，由（1）知f（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)
設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1-1

+

3-x1

-

x2-1

+

3-x2

=

x1-x2

x1-1 + x2-1

+

x1-x2

3-x1 + 3-x2

=(x1-x2)[

1

x1-1 + x2-1

+

1

3-x1 + 3-x2

]，
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＞0，
又

1

x1-1 + x2-1

+

1

3-x1 + 3-x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為[1，2]上的增函數(shù)，由對(duì)稱(chēng)性知f（x）在[2，3]上為減函數(shù)，
∴f（x）≤f（2）=2
∴y=f（x）的圖象除點(diǎn)（2，2）外均在直線(xiàn)y=2的下方

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的歸納能力．