Question

如圖示，在底面為直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的正切值；
（3）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）令BD與AC相交于點O，由已知條件利用勾股定理求出AC=4

3

，BD=4，再由△AOD～△BOC，求出BO=3，AO=

3

，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）O作OH⊥PC于H，連DH，則DH⊥PC，∠DHO就是二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的正切值．
（3）設點D到平面PBC的距離為h，由V_D-PBC=V_P-BDC，能求出點D到平面PBC的距離．

解答： （1）證明：令BD與AC相交于點O，
∵在底面為直角梯形的四棱椎P-ABCD中，
AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
∴AC=

(2 3 )2+62

=4

3

，BD=

(2 3 )2+22

=4
∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，
∵

AD

BC

=

2

6

=

1

3

，∴BO=

3

4

×4=3，AO=

1

4

×4

3

=

3

，
∴BO²+AO²=（3）²+（

3

）²=12=AB²
∴由勾股定理得：BO⊥AC，即：BD⊥AC，又BD⊥PA，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．（3分）
（2）解：由（1）知：DO⊥平面PAC，
過O作OH⊥PC于H，連DH，則DH⊥PC
則∠DHO就是二面角A-PC-D的平面角，DO=

1

4

×BD=

1

4

×4=1，
CO=

3

4

×AC=

3

4

×4

3

=3

3

，
在Rt△PAC和Rt△OHC中，
∵∠PAC=∠OHC，∠PCA=∠HCO，∴Rt△PAC～Rt△OHC，
∴

OH

PA

=

OC

PC

，又∵PC=

PA2+AC2

=8，OH=

3 3

2

．
∴tan∠DHO=

DO

OH

=

2 3

9

，
∴二面角A-PC-D的正切值為

2 3

9

．（7分）
（3）解：設點D到平面PBC的距離為h，
∵V_D-PBC=V_P-BDC，
∴

1

3

 S△PBC•h=

1

3

S△BDC•PA=

1

3

•[

1

2

(2+6)•2

3

-

1

2

×2×2

3

]•4=8

3

，
∵BC=6，PB=

16+12

=2

7

，PC=

16+48

=8，
∴BC⊥PB，∴S_△PBC=

1

2

×6×2

7

=6

7

，
∴h=

8 3

1 3 ×6 7

=

4 21

7

．
∴點D到平面PBC的距離為

4 21

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．