【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓: 的離心率,左頂點為,過點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為的中點,是否存在定點,對于任意的都有,若存在,求出點的
坐標;若不存在說明理由;
(3)若過點作直線的平行線交橢圓于點,求的最小值.
【答案】(1);(2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)由橢圓的離心率和左頂點,求出a,b,由此能求出橢圓C的標準方程.
(2)直線l的方程為y=k(x+4),與橢圓聯(lián)立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12)]=0,由此利用韋達定理、直線垂直,結(jié)合題意能求出結(jié)果.
(3)OM的方程可設(shè)為y=kx,與橢圓聯(lián)立得M點的橫坐標為,由,,能求出結(jié)果.
試題解析:
(1)因為左頂點為,所以,又,所以
又因為,
所以橢圓的標準方程為.
(2)直線的方程為,由消元得
化簡得, ,
所以
當時, ,
所以.因為點為的中點,所以點的坐標為,
則.
直線的方程為,令,得點的坐標為,
假設(shè)存在定點使得,
則,即恒成立,
所以恒成立,所以即
因此定點的坐標為.
(3)因為,所以的方程可設(shè)為,
由得點的橫坐標為
由,得
,
當且僅當即時取等號,
所以當時, 的最小值為.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a3 , a5 , a15成等比數(shù)列,若a1=3,Sn為數(shù)列an的前n項和,則anSn的最小值為( )
A.0
B.﹣3
C.﹣20
D.9
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【題目】2016年6月22日“國際教育信息化大會”在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國際教育信息化大會”,某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15—75歲之間的100人進行調(diào)查,并按年齡繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,其分組區(qū)間為: .把年齡落在區(qū)間自和 內(nèi)的人分別稱為“青少年”和“中老年”.
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計 | |
青少年 | 15 | ||
中老年 | |||
合計 | 50 | 50 | 100 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本的中位數(shù)(保留兩位小數(shù))和眾數(shù);
(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”;
臨界值表:
附:參考公式
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中.
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【題目】用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表:用表示第行第個數(shù),使得,每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和,設(shè)第行中的各數(shù)之和為.
已知,求的值;
令,證明:是等比數(shù)列,并求出的通項公式;
數(shù)列中是否存在不同的三項恰好成等差數(shù)列?若存在,求出的關(guān)系,若不存在,說明理由.
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【題目】下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在[﹣1,1]上單調(diào)遞增是( )
A.f(x)=|sinx|
B.f(x)=ln
C.f(x)= (ex﹣e﹣x)
D.f(x)=ln( ﹣x)
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【題目】已知兩條直線l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0. 求滿足下列條件的a,b值.
(Ⅰ)l1⊥l2且l1過點(﹣3,﹣1);
(Ⅱ)l1∥l2且原點到這兩直線的距離相等.
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【題目】圓內(nèi)有一點P(-1,2),AB為過點P且傾斜角為的弦.
(1)當時,求AB的長;
(2)當弦AB被點P平分時,寫出直線AB的方程.
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【題目】已知橢圓的方程為 ( )的離心率為 ,圓的方程為 ,若橢圓與圓 相交于 , 兩點,且線段 恰好為圓 的直徑.
(1)求直線 的方程;
(2)求橢圓 的標準方程.
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