Question

1．點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$上一點，F(xiàn)是右焦點，且△OPF為等腰直角三角形（O為坐標原點），則雙曲線離心率的值是$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$或$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 分類討論，確定a，c的關系，即可求出雙曲線離心率的值．

解答 解：若|OF|=|PF|，則c=$\frac{^{2}}{a}$，∴ac=c²-a²，∴e²-e-1=0，∵e＞1，∴e=$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；
若|OP|=|PF|=$\frac{c}{2}$，則P（$\frac{c}{2}$，$\frac{c}{2}$）代入雙曲線方程可得e⁴-3e²+1=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$或$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線離心率的值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關鍵．