Question

10．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機抽取了若干名學(xué)生的體檢表，并得到如圖直方圖：
（Ⅰ）若直方圖中前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

年級名次     是否近視	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？附：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖中前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，求出視力在5.0以下的頻率，即可估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
依題意，前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，故
f₁=0.15×0.2=0.03，f₂=0.45×0.2=0.09，f₃=$\frac{{{f}_{2}}^{2}}{{f}_{1}}$=0.27，…（2分）
所以由$\frac{（{f}_{3}+{f}_{6}）-4}{2}$=1-（0.03+0.09）得f₆=0.17，…（4分）
所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83，…（5分）
故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×0.83=830；…（7分）
（Ⅱ）K²=$\frac{100×（41×18-32×9）^{2}}{50×50×73×27}$≈4.110＞3.841，…（10分）
因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系．…（12分）

點評 本題考查直方圖，考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．