Question

13．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x），在區(qū)間[-1，1）上，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{4^x}+a，}&{-1≤x≤0}\\{{x^2}-{{log}_2}x，}&{0＜x＜1}\end{array}}$，若f（-$\frac{5}{2}$）-f（$\frac{9}{2}$）=0，則f（4a）=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先分別求出f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}+a$，f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$，再由f（-$\frac{5}{2}$）-f（$\frac{9}{2}$）=0，得a=$\frac{3}{4}$，從而f（4a）=f（3）=f（-1），由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x），
在區(qū)間[-1，1）上，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{4^x}+a，}&{-1≤x≤0}\\{{x^2}-{{log}_2}x，}&{0＜x＜1}\end{array}}$，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=${4}^{-\frac{1}{2}}$+a=$\frac{1}{2}+a$，
f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²-$lo{g}_{2}\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$，
∵f（-$\frac{5}{2}$）-f（$\frac{9}{2}$）=0，
∴$\frac{1}{2}+a=\frac{5}{4}$，解得a=$\frac{3}{4}$，
∴f（4a）=f（3）=f（-1）=${4}^{-1}+\frac{3}{4}$=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．