Question

9．（1）雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$有相同焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離等于$\sqrt{5}$，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為$\sqrt{15}$，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），求出漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得b，由a，b，c的關(guān)系，求得a，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p≠0），聯(lián)立直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，解方程可得p，進(jìn)而得到所求拋物線的方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}=1$的焦點(diǎn)為（0，±3），
即c=3，
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
焦點(diǎn)（0，c）到漸近線ax-by=0的距離d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
可得b=$\sqrt{5}$，∴a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=2，
雙曲線方程為$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$；
（2）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去y得：
x²-4px-2p=0，設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-2p，
則|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（4p）^{2}+8p}$=$\sqrt{15}$，
解得p=-$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{4}$，
則拋物線的方程為x²=$\frac{1}{2}$y或x²=-$\frac{3}{2}$y．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線和拋物線的方程，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查橢圓的方程和性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程以及拋物線和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．