Question

若f（x）=x²-x+b且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1）．
（1）求a，b的值；
（2）求f（log₂x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值；
（3）令g（x）=log₂f（x），求g（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（log₂a）=(log2a)2-log₂a+b=b，求得log₂a的值，可得a的值．再根據(jù)log₂f（a）=2，求得f（a）=a²-a+b=4的值，可得b的值．
（2）根據(jù) f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．
  （3）由g(x)=log2f(x)=log2(x2-x+2)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知g（x）在[0，

1

2

]單調(diào)遞減，在(

1

2

，m]單調(diào)遞增，分類討論求得g（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-x+b，∴f（log₂a）=(log2a)2-log₂a+b=b，
∴l(xiāng)og₂a•（log₂a-1）=0，又∵a≠1，∴l(xiāng)og₂a=1，∴a=2．
又 log₂f（a）=2，∴f（a）=4，∴a²-a+b=4，∴b=2．
（2）∵f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，
∴當(dāng)log2x=

1

2

，即：x=

2

時(shí)，f（log₂x）有最小值

7

4

．    
（3）∵g(x)=log2f(x)=log2(x2-x+2)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知g（x）在[0，

1

2

]單調(diào)遞減，在(

1

2

，m]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)g（0）≥g（m）時(shí)，即：log22≥log2(m2-m+2)，
即：m²-m+2≥2時(shí)，即：0＜m≤1時(shí)，g（x）_max=g（0）=log₂2=1．
同理：當(dāng)m＞1時(shí)，g(x)max=g(m)=log2(m2-m+2)，
綜上所述：當(dāng)0＜m≤1時(shí)，g（x）_max=1；當(dāng)m＞1時(shí)，g(x)max=log2(m2-m+2)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．