Question

已知拋物線x²=2py（p＞0），拋物線上一點(diǎn)A（a，4）到拋物線旳準(zhǔn)線的距離為5．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)M（2，-1）作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，求證：MB⊥MC．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意

p

2

+4=5，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由x²=4y，得y′=

1

2

x，從而x²=4y在點(diǎn)（x₀，

x02

4

）處的切線方程為y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，把點(diǎn)M（2，-1）代入，得x02-4x0-4=0，從而B（2+2

2

，4+2

2

），C（2-2

2

，4-2

2

），由此能證明MB⊥MC．

解答： （1）解：由題意拋物線的方程為x²=2py（p＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)A（a，4）在拋物線上，
又點(diǎn)A（a，4）到拋物線準(zhǔn)線的距離是5，
所以

p

2

+4=5，解得p=2．
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y．
（2）證明：∵x²=4y，∴y′=

1

2

x，
∴x²=4y在點(diǎn)（x₀，

x02

4

）處的切線方程為y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，
把點(diǎn)M（2，-1）代入，得x02-4x0-4=0，
解得

x0=2+2 2 y0=4+2 2

，或

x0=2-2 2 y0=4-2 2

，
∴B（2+2

2

，4+2

2

），C（2-2

2

，4-2

2

），
∴k_MB=

4+2 2

2 2

，k_MC=

4-2 2

-2 2

，
∴k_MB•k_MC=

4+2 2

2 2

×

4-2 2

-2 2

=-1，
∴MB⊥MC．

點(diǎn)評：本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查兩直線垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．