Question

3．如圖所示，在正方體AC₁中，AB=2，A₁C₁∩B₁D₁=E，直線AC與直線DE所成的角為α，直線DE與平面BCC₁B₁所成的角為β，則cos（α-β）=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 連接BD交AC于O，連接OB₁，過O作OM⊥BC于M，連接B₁M，B₁A，B₁C．求出α=90°，證明OM⊥平面BCC₁B₁，得出cos（α-β）=sinβ=$\frac{OM}{O{B}_{1}}$．

解答 解：連接BD交AC于O，連接OB₁，過O作OM⊥BC于M，連接B₁M，B₁A，B₁C．
∵B₁A=B₁C，O是AC的中點(diǎn)，∴OB₁⊥AC，
∵B₁E$\stackrel{∥}{=}$OB，∴四邊形ODEB₁是平行四邊形，
∴OB₁∥DE，
∴DE⊥AC，
∴直線AC與直線DE所成的角為α=90°，
∵OM⊥BC，OM⊥BB₁，
∴OM⊥平面BCC₁B₁，
∴∠OB₁M為直線DE與平面BCC₁B₁所成的角β，
∴cos（α-β）=sinβ=$\frac{OM}{O{B}_{1}}$，
∵正方體的棱長AB=2，∴OM=1，OB=$\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{2}$，
∴OB₁=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴sinβ=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了空間角的計(jì)算，作出要求的空間角是解題的關(guān)鍵，也可用向量法求出α，β，再計(jì)算cos（α-β），屬于中檔題．