Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）滿足2x²f（x）+x³f'（x）=e^x，f（2）=$\frac{e^2}{8}$，則x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）的最小值為（　�。�

• A． $\frac{e^2}{2}$
• B． $\frac{{3{e^2}}}{2}$
• C． $\frac{e^2}{4}$
• D． $\frac{e^2}{8}$

Answer 1

分析 由題意可知：f'（x）=$\frac{{e}^{x}-2{x}^{2}f（x）}{{x}^{3}}$，且當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=$\frac{e^2}{8}$，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，則g（x）在x=2處取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，即可求得f（x）的最小值．

解答 解：由2x²f（x）+x³f'（x）=e^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，
故此等式可化為：f'（x）=$\frac{{e}^{x}-2{x}^{2}f（x）}{{x}^{3}}$，且當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=$\frac{e^2}{8}$，
f'（x）=$\frac{{e}^{2}-8×f（2）}{{x}^{3}}$=0，
令g（x）=e²-2x²f（x），g（2）=0，
求導(dǎo)g′（x）=e²-2[x²f′（x）+2xf（x）]=e²-$\frac{2{e}^{x}}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x-2），
當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
則g（x）在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，
g（z）的最小值為g（2）=0，
則f'（x）≥0恒成立，
∴f（x）的最小值f（2）=$\frac{e^2}{8}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查構(gòu)造法求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．