Question

2．已知公比為q的等比數(shù)列{a_n}的前6項和S₆=21，且4a₁，$\frac{3}{2}$a₂，a₂成等差數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）設(shè){b_n}是首項為2，公差為-a₁的等差數(shù)列，求數(shù)列{|b_n|}前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由4a₁，$\frac{3}{2}$a₂，a₂成等差數(shù)列，求出公比q=2，再由等比數(shù)列{a_n}的前6項和S₆=21，求出首項${a}_{1}=\frac{1}{3}$，由此能求出a_n．
（2）求出$_{n}=-\frac{1}{3}n+\frac{7}{3}$，設(shè)S_n為{b_n}的前n項和，當n≤7時，數(shù)列{|b_n|}前n項和為T_n=S_n，當n＞7時，T_n=2S₇-S_n，由此能求出數(shù)列{|b_n|}前n項和T_n．

解答 解：（1）∵4a₁，$\frac{3}{2}$a₂，a₂成等差數(shù)列，
∴4a₁+a₂=3a₂，即4a₁=2a₂=2a₁q，
解得q=2，…（3分）
∴${S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-{2}^{6}）}{1-2}=21$，解得${a}_{1}=\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-1}}{3}$．…（6分）
（2）有（1）可知{b_n}是首項為2，公差為-$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列，
∴$_{n}=-\frac{1}{3}n+\frac{7}{3}$，…（7分）
由b_n=-$\frac{1}{3}n+\frac{7}{3}$≥0，得n≤7．
設(shè)S_n為{b_n}的前n項和，則${S}_{n}=-\frac{1}{6}{n}^{2}+\frac{13}{6}n$，…（8分）
當n≤7時，數(shù)列{|b_n|}前n項和為T_n=S_n=-$\frac{1}{6}{n}^{2}+\frac{13}{6}n$，…（9分）
當n＞7時，T_n=2S₇-S_n=$\frac{1}{6}{n}^{2}-\frac{13}{6}n+14$，…（11分）
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{6}{n}^{2}+\frac{13}{6}n，n≤7}\\{\frac{1}{6}{n}^{2}-\frac{13}{6}n+14，n＞7}\end{array}\right.$．…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．