Question

8．設(shè)定義在區(qū)間[-m，m]上的函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1+nx}{1-2x}$是奇函數(shù)（n≠-2），則n^m的范圍為（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可得，m為正實(shí)數(shù)，根據(jù)f（-x）=-f（x），可得n=±2．再由n≠-2可得n=2．再由函數(shù)的解析式解求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．根據(jù)函數(shù)f（x）定義在區(qū)間[-m，m]上，可得0＜m＜$\frac{1}{2}$，從而求得n^m 的范圍．

解答 解：由題意可得，m為正實(shí)數(shù)，f（-x）=-f（x），化簡(jiǎn)可得$lo{g}_{2}\frac{1-（nx）^{2}}{1-4{x}^{2}}$=0，n=±2．
∵n≠-2，∴n=2，函數(shù)的解析式為f（x）=log₂$\frac{1+2x}{1-2x}$，可得$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，即（2x+1）（2x-1）＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，故函數(shù)的定義域?yàn)?（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
再由函數(shù)f（x）定義在區(qū)間[-m，m]上，可得0＜m＜$\frac{1}{2}$，故1＜n^m＜$\sqrt{2}$，
故答案為：（1，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要求函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的定義域，不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．