Question

已知函數(shù)f（x）=Asinwx+Bcoswx（其中A、B、w是常數(shù)w＞0）的最小周期為2，并且當(dāng)x=

1

3

取得最大值2．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式
（2）在閉區(qū)間[

21

4

，

23

4

]上是否存在f（x）對(duì)稱軸，如果存在，求出其對(duì)稱軸方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用輔助角公式可知f（x）=2sin（πx+θ），又f（

1

3

）=2sin（

π

3

+θ）=2，|θ|＜

π

2

，可求得θ=

π

6

，于是可得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）

21

4

≤x≤

23

4

⇒4π+

17π

12

≤πx+

π

6

≤4π+

23π

12

（k∈Z），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知，當(dāng)πx+

π

6

=4π+

3π

2

時(shí)，f（x）有最小值-2，解得x=

16

3

，于是可得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

A2+B2

sin（wx+θ）（其中θ為輔助角|θ|＜

π

2

）
由題意得

A2+B2

=2，

2π

w

=2，∴w=π；
∴f（x）=2sin（πx+θ），又f（

1

3

）=2sin（

π

3

+θ）=2，|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

6

，∴f（x）=2sin（πx+

π

6

），（6分）
（2）∵

21

4

≤x≤

23

4

，∴

65π

12

≤πx+

π

6

≤

71π

12

，即4π+

17π

12

≤πx+

π

6

≤4π+

23π

12

（k∈Z），
當(dāng)πx+

π

6

=4π+

3π

2

時(shí)，f（x）有最小值-2，解得x=

16

3

；
∴在閉區(qū)間[

21

4

，

23

4

]上存在f（x）的對(duì)稱軸，其方程為x=

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查輔助角公式的應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸，屬于中檔題．