Question

已知過點A（-2，-4）且斜率為1的直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于B，C兩點，若AB、BC、CA的絕對值成等比數列，求拋物線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：題意，直線l的標準參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數）．代入拋物線方程y²=2px（p＞0）可得t²-（2

2

p+8

2

）t+32+8p=0，設A，B的參數分別為t₁，t₂．可得根與系數，由于|AB|=t₁，|AC|=t₂，|BC|=|t₁-t₂|=2

2p2+8p

及AB、BC、CA的絕對值成等比數列，即可得出．

解答： 解：由題意，直線l的標準參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數）．
代入拋物線方程y²=2px（p＞0）可得：t²-（2

2

p+8

2

）t+32+8p=0，
設B，C的參數分別為t₁，t₂．
則t₁+t₂=2

2

p+8

2

，t₁t₂=32+8p．
∴|AB|=t₁，|AC|=t₂．
|BC|=|t₁-t₂|=2

2p2+8p

．
∵|AB|，|BC|，|CA|成等比數列，
∴4（2p²+8p）=t₁t₂=32+8p，
化為p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．
∴拋物線的方程為：y²=2x．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、直線的參數方程、等比數列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．