Question

6．如果（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ（a＞0）的展開式中各二項(xiàng)式項(xiàng)系數(shù)之和為256，系數(shù)和也是256
（1）求a、n的值；
（2）求展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)；
（3）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再根據(jù)各項(xiàng)的系數(shù)和為（3-a）⁸=256求得a的值．
（2）在展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于-2，求得r的值，可得展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)．
（3）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式，可得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）由于（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ（a＞0）的展開式中各二項(xiàng)式項(xiàng)系數(shù)之和為2ⁿ=256，
∴n=8，
再令x=1，可得（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）⁸（a＞0）的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為（3-a）⁸=256，求得 a=1．
（2）（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）⁸=）（3x-$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）⁸ 的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（3）^8-r•（-1）^r•${x}^{8-\frac{5}{3}r}$，
令8-$\frac{5}{3}r$=-2，求得r=6，可得展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為 ${C}_{8}^{6}$•9=252．
（3）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為${C}_{8}^{4}$•81•${x}^{-\frac{8}{3}}$=5670•${x}^{-\frac{8}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．