Question

3．已知點(diǎn)A（a，b）在y=-x²+3lnx的圖象上，點(diǎn)B（m，n）在y=x+2的圖象上，則（a-m）²+（b-n）²的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 （a-m）²+（b-n）²的幾何意義是y=-x²+3lnx的圖象上的點(diǎn)與y=x+2的圖象上的點(diǎn)的距離的平方；從而求導(dǎo)，求出切線，求平行線間的距離即可．

解答 解：∵點(diǎn)A（a，b）在y=-x²+3lnx的圖象上，點(diǎn)B（m，n）在y=x+2的圖象上，
又∵（a-m）²+（b-n）²的幾何意義是點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（m，n）兩點(diǎn)間距離的平方；
∴（a-m）²+（b-n）²的幾何意義是y=-x²+3lnx的圖象上的點(diǎn)與y=x+2的圖象上的點(diǎn)的距離的平方；
∵y=-x²+3lnx，
∴y′=-2x+3$\frac{1}{x}$=$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$，（x＞0）
故y_max=-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$ln$\frac{3}{2}$＜0，
故y=-x²+3lnx的圖象始終在y=x+2的圖象的下方，
令y′=-2x+3$\frac{1}{x}$=1得，
x=1；
此時(shí)y=-1+0=-1，
故切線方程為y=x-2；
y=x-1與y=x+2的距離為$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故（a-m）²+（b-n）²的最小值為（2$\sqrt{2}$）²=8，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用，屬于中檔題．