Question

15．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，且取相等的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），設(shè)點(diǎn)P（-1，2）
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲線C的極坐標(biāo)方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程；把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為普通方程．
（Ⅱ）把線l的參數(shù)方程代入圓的方程化簡(jiǎn)可得關(guān)于t的一元二次方程，再根據(jù)參數(shù)的意義和韋達(dá)定理可得．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），即ρ²=2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程可得x²+y²=x-$\sqrt{3}$y，移項(xiàng)配方可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1，
表示以（$\frac{1}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，1為半徑的圓；
消去參數(shù)t可將直線l的參數(shù)方程化為普通方程x+y-2+$\sqrt{3}$=0；
（Ⅱ）把點(diǎn)（-1-t，2+$\sqrt{3}$t）代入圓的方程化簡(jiǎn)可得2t²+（3+2$\sqrt{3}$）t+3+$\sqrt{3}$=0，
由韋達(dá)定理可和參數(shù)的意義可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法和參數(shù)的意義，屬基礎(chǔ)題．