Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB=2，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點(diǎn)，連接OC，OA₁，得出OC⊥AB，OA₁⊥AB，運(yùn)用AB⊥平面OCA₁，即可證明．
（2）確定∠CA₁O為直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的角，在Rt△COA₁中，求解即可．

解答： 解：（1）取AB中點(diǎn)，連接OC，OA₁，
∵CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
∴OC⊥AB，OA₁⊥AB，
∵OC∩OA₁=O，
∴AB⊥平面OCA₁，
∵CA₁?平面OCA₁，
∴AB⊥A₁C；
（2）∵CA=AB=CB=2，
∴OC=

3

，
∵AB=A₁A，∠BAA₁=60°
∴OA₁=

3

，
∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，
∴OC⊥平面AA₁B₁B，
∴∠CA₁O為直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的角，
Rt△COA₁中，OC=

3

，OA₁=

3

，CA₁=

6

∴直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值：

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間直線，平面的垂直，直線與平面所成的角，屬于計(jì)算題，關(guān)鍵是確定角．