Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$不平行于$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|_min=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1-$\frac{3}{-8（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2}$≤-$\frac{1}{2}$，（0＜λ＜1）．即可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{2-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$不平行于$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，
∴$\frac{1}{4}$=${\overrightarrow{c}}^{2}$=λ²+（1-λ）²+2λ（1-λ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，（0＜λ＜1）．
化為$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{-8{λ}^{2}+8λ-3}{8λ（1-λ）}$=1+$\frac{3}{8{λ}^{2}-8λ}$=1-$\frac{3}{-8（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2}$≤-$\frac{1}{2}$，
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{2-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$≥$\sqrt{2-2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|_min=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．