Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ln（1+2x）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）設(shè)b＞a＞0，證明ln

a+1

b+1

＞（a+b）（a+b+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最大值；
（2）確定b+

1

2

＞a+

1

2

＞

1

2

根據(jù)（1）知：當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：f（x）=-x²+ln（1+2x）的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞）
又f′（x）=

-4x2-2x+2

1+2x

，
由f′（x）＞0且x＞-

1

2

得-4x²-2x+2＞0，
∴-

1

2

＜x＜

1

2

時(shí)函數(shù)是增函數(shù)；
同理x＞

1

2

時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)．
∴x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值-

1

4

+ln2；
（2）證明：∵b＞a＞0，∴b+

1

2

＞a+

1

2

＞

1

2

根據(jù)（1）知：當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)．
∴f（b+

1

2

）＞f（a+

1

2

），
∴-（b+

1

2

^）2+ln（1+2b+1）＜-（a+

1

2

^）2+ln（1+2a+1）
化簡得ln

a+1

b+1

＞（a+b）（a+b+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．