Question

11．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{9{x}^{2}+3x+1}$-$\sqrt{9{x}^{2}-3x+1}$-a存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 化簡a=$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，從而利用其幾何意義及數(shù)形結(jié)合的思想求解．

解答 解：由題意得，
a=$\sqrt{9{x}^{2}+3x+1}$-$\sqrt{9{x}^{2}-3x+1}$
=$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$；
$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$表示了點A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）與點C（3x，0）的距離，
$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$表示了點B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）與點C（3x，0）的距離，
如下圖，

結(jié)合圖象可得，
-|AB|＜$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$＜|AB|，
即-1＜$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$＜1，
故實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．
故答案為：（-1，1）．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．