Question

5．函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（　�。�

• A． a＞0，b＞0，c＞0，d＞0
• B． a＞0，b＞0，c＜0，d＞0
• C． a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
• D． a＞0，b＜0，c＞0，d＞0

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先判斷d＞0，a＞0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷b，c的符號(hào)即可．

解答 解：f（0）=d＞0，
當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，
由f（x）在（-∞，x₁）遞增，在（x₁，x₂）遞減，在（x₂，+∞）遞增，
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c在（-∞，x₁）大于0，
在（x₁，x₂）小于0，在（x₂，+∞）大于0，
∴a＞0，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c，
則f′（x）=0有兩個(gè)相異的實(shí)根，
由圖象得：|x₂|＞|x₁|，
則x₁+x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0且x₁x₂=$\frac{c}{3a}$＜0，（a＞0），
∴b＜0，c＜0，
方法2：f′（x）=3ax²+2bx+c，
由圖象知當(dāng)當(dāng)x＜x₁時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)函數(shù)遞減，則f′（x）對(duì)應(yīng)的圖象開口向上，
則a＞0，且x₁+x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0且x₁x₂=$\frac{c}{3a}$＜0，（a＞0），
∴b＜0，c＜0，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)函數(shù)圖象的信息，結(jié)合函數(shù)的極值及f（0）的符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．