Question

在的展開式中，把叫做三項(xiàng)式系數(shù)．

（1）當(dāng)n=2時，寫出三項(xiàng)式系數(shù)的值；

（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，給出一個關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)的相似性質(zhì)，并予以證明；

（3）求的值．

 

Answer 1

（1）；

（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506183441082752/SYS201502150618487864397739_DA/SYS201502150618487864397739_DA.005.png">，

所以.

上式左邊的系數(shù)為,

而上式右邊的系數(shù)為,

由為恒等式,得

（3）=0.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506183441082752/SYS201502150618487864397739_DA/SYS201502150618487864397739_DA.011.png">，進(jìn)而求得相應(yīng)的值；（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得三項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，展開計(jì)算即可；（3）分別寫出和的展開式，而二項(xiàng)式的通項(xiàng)，得到的展開式中沒有x2014項(xiàng)，問題得以解決.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506183441082752/SYS201502150618487864397739_DA/SYS201502150618487864397739_DA.017.png">，

所以.

（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506183441082752/SYS201502150618487864397739_DA/SYS201502150618487864397739_DA.005.png">，

所以.

上式左邊的系數(shù)為,

而上式右邊的系數(shù)為,

由為恒等式,得

（3）

其中x2014系數(shù)為，

又

而二項(xiàng)式的通項(xiàng)，

因?yàn)?014不是3的倍數(shù),所以的展開式中沒有x2014項(xiàng)，

由代數(shù)式恒成立，得

=0.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.