Question

2．若點A，B在曲線y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$上，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值為2．

Answer 1

分析 設A（a，b），B（c，d），則a=±$\sqrt{^{2}-2}$，c=±$\sqrt{exqzql9^{2}-2}$，且bd≥2．則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=ac+bd≥bd-$\sqrt{^{2}-2}$$\sqrt{pzs9pq2^{2}-2}$，然后使用基本不等式求出最小值．

解答 解：設A（a，b），B（c，d）則b=$\sqrt{{a}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$，d=$\sqrt{{c}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$．∴bd≥2．
a=±$\sqrt{^{2}-2}$，c=±$\sqrt{lstmv8v^{2}-2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=ac+bd≥bd-$\sqrt{^{2}-2}$$\sqrt{87flws7^{2}-2}$=bd-$\sqrt{^{2}26lepyr^{2}-2^{2}-27w2q51v^{2}+4}$≥bd-$\sqrt{^{2}0xthn7t^{2}-4bd+4}$=bd-|bd-2|=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．