Question

已知正△ABC的邊長為a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖所示．
（Ⅰ）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）若棱錐E-DFC的體積為

3

24

，求a的值；
（Ⅲ）在線段AC上是否存在一點P，使BP⊥DF？如果存在，求出

AP

AC

的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出EF∥AB，由此能證明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中點M，則EM∥AD，EM⊥平面BCD，且EM=

a

2

，由此利用棱錐的體積能求出a．
（Ⅲ）線段AC上存在一點P，使BP⊥DF．三角形BDF為正三角形，過B做BK⊥DF，延長BK交DC于K，過K做KP∥DA，交AC于P．則點P即為所求．利用空間幾何知識能進行證明．

解答： 解：（Ⅰ）AB∥平面DEF，
如圖．在△ABC中，∵E，F分別是AC，BC的中點，∴EF∥AB，
又AB不包含于平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．…（4分）
（Ⅱ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中點M，則EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，且EM=

a

2

，
∵棱錐E-DFC的體積為

3

24

，
∴V=

1

3

×

a

4

×

3 a2

16

=

3

24

，解得a=2．…（8分）
（Ⅲ）線段AC上存在一點P，使BP⊥DF．
三角形BDF為正三角形，過B做BK⊥DF，
延長BK交DC于K，過K做KP∥DA，交AC于P．則點P即為所求．
證明：∵AD⊥平面BCD，KP∥DA，
∴PK⊥平面BCD，PK⊥DF，又 BK⊥DF，PK∩BK=K，
∴DF⊥平面PKB，DF⊥PB．又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°，∴DK=KF=KC/2．
故AP：OC=1：2，AP：AC=1：3   …（12分）

點評：本題考查直線與平面的位置關系的判斷與證明，考查實數的求法，考查滿足條件的點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．