Question

【題目】.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線的定義可知軌跡為雙曲線的右支，從而可得軌跡方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求得；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)直線方程，代入可整理得到一元二次方程；根據(jù)有兩個(gè)正實(shí)根可構(gòu)造出不等式組，求得斜率；將利用坐標(biāo)運(yùn)算表示為符合韋達(dá)定理的形式，代入整理后，結(jié)合可求得；綜合兩種情況可得所求最小值.

（1）

由雙曲線定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支

，，

的方程為：

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為：

此時(shí)，

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：

代入雙曲線方程可得：

可知上式有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根

解得：

由得：

綜上所述，的最小值為