Question

12．若點P（a，b）在函數y=-x²+3lnx的圖象上，點Q（c，d）在函數y=x+2的圖象上，則|PQ|的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x+m．再求出此兩條平行線之間的距離，即可得出結論．

解答 解：設直線y=x+m與曲線y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函數y=-x²+3lnx，∴y′=-2x+$\frac{3}{x}$，
令-2x₀+$\frac{3}{{x}_{0}}$=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切點P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x-2．
而兩條平行線y=x+2與y=x-2的距離d=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了導數的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉化問題等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．