Question

已知函數(shù)f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域;

(2)當(dāng)a∈(1,4)時(shí),求函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的最小值;

(3)若對(duì)任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由x+-2>0,得,

a>1時(shí),x²-2x+a>0恒成立,定義域?yàn)?0,+∞),

a=1時(shí),定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1},

0<a<1時(shí),定義域?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/10/17/17/2015101717011738867304.files/image027.jpg'>.

(2)設(shè)g(x)=x+-2,當(dāng)a∈(1,4),x∈[2,+∞)時(shí),

恒成立,

∴g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函數(shù).

∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上是增函數(shù).

∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上的最小值為

f(2)=lg .

(3)對(duì)任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,

即x+-2>1對(duì)x∈[2,+∞)恒成立.

∴a>3x-x²,

而h(x)=3x-x²=-(x-)²+在x∈[2,+∞)上是減函數(shù),

∴h(x)_max=h(2)=2.

∴a>2.