Question

14．已知數列{a_n}，{b_n}滿足2S_n=（a_n+2）b_n，其中S_n是數列{a_n}的前n項和．
（1）若數列{a_n}是首項為$\frac{2}{3}$，公比為-$\frac{1}{3}$的等比數列，求數列{b_n}的通項公式；
（2）若b_n=n，a₂=3，求證：數列{a_n}滿足a_n+a_n+2=2a_n+1，并寫出數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，
求證：數列{c_n}中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積．

Answer 1

分析 （1）通過數列{a_n}是首項為$\frac{2}{3}$，公比為$-\frac{1}{3}$的等比數列求出通項公式，然后求解${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}$．
（2）若b_n=n，通過a_n=S_n-S_n+1，得到遞推關系式，化簡推出數列{a_n}是首項為2公差為1的等差數列，求出通項公式．
（3）由（2）知${c_n}=\frac{n+1}{n}$，對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，且t，k∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，證明$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，構造$t=\frac{n（k+1）}{k-n}$，然后證明數列{c_n}中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積．

解答 解：（1）因為數列{a_n}是首項為$\frac{2}{3}$，公比為$-\frac{1}{3}$的等比數列
所以${a_n}=\frac{2}{3}•{（-\frac{1}{3}）^{n-1}}$，${S_n}=\frac{{1-{{（-\frac{1}{3}）}^n}}}{2}$…（3分）
所以${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}$…（4分）
（2）若b_n=n，則2S_n=（a_n+2）n，所以2S_n+1=（n+1）（a_n+1+2）
所以2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+2，即（n-1）a_n+1+2=na_n…（5分）
所以na_n+2+2=（n+1）a_n+1
所以na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n
所以a_n+a_n+2=2a_n+1…（7分）
又由2S₁=a₁+2，得：a₁=2…（8分）
所以數列{a_n}是首項為2公差為1的等差數列
所以a_n=n+1…（10分）
（3）證明：由（2）知${c_n}=\frac{n+1}{n}$，
對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，且t，k∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，
只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$…（12分）
只需$t=\frac{n（k+1）}{k-n}$…（14分）
取k=n+1，則t=n（n+2）…（16分）
所以對于數列{c_n}中的任意一項${c_n}=\frac{n+1}{n}$，
都存在C_n+1=$\frac{n+2}{n+1}$與C_n（n+2）=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}+2n}$，使得c_n=c_n+1•c_n（n+2），
即數列{c_n}中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積…（18分）

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，考查數列通項公式的求法，數列求和，考查轉化思想以及計算能力．