Question

【題目】如圖，把兩個(gè)全等的和分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊在軸上，已知點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)的直線分別交軸、軸于點(diǎn). 拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn).

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若沿方向平移（點(diǎn)始終在線段上，且不與點(diǎn)重合），在平移的過(guò)程中與重疊部分的面積記為，試探究是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)即可根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線解析式；（2）首先分別作過(guò)點(diǎn)分別作梯形的高，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此通過(guò)建立方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作于，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的水平距離為，由此得到線段的長(zhǎng)度，從而通過(guò)解直角三角形得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．

試題解析：（1）將分別代入，

得，解得：，所以.

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)分別作梯形的高，如果梯形是等腰梯形，那么因此，，

直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么.

解方程，得，

的幾何意義是與重合，此時(shí)梯形不存在，所以.

（3）如圖2，與重疊部分的形狀是四邊形，作于，

設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的水平距離為，那么，，

在中，，所以.

在中，，所以，

所以，

在中，；

在中，；

所以.

因此，所以，

所以.

于是，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.