Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1．
①求b，c的值；
②已知a∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 ①先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程得到方程組，從而求出b，c的值；
②先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f′（x）=x²-ax+b，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1\\ f'（0）=0\end{array}\right.$即：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$
（2）由（1），得f′（x）=x²-ax=x（x-a），…（6分）
若a＞0   當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（0，a）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]，[a，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為[0，a]．…（8分）
若a=0 則f′（x）≥0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）…（10分）
若a＜0   當(dāng)x∈（-∞，a）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（a，0）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a]，[0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為[a，0]．…（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．