Question

10．橢圓的中心在原點O，與雙曲線2x²-2y²=1焦點相同，長軸長是2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）A是橢圓上一點，F(xiàn)₁是橢圓左焦點，求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）通過雙曲線的焦點為（-1，0）、（1，0），橢圓的長軸長2a=2$\sqrt{2}$，計算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)A（x₁，y₁），利用F₁（-1，0）及點A滿足橢圓方程化簡$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$=$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+1）^{2}$$+\frac{1}{2}$，進(jìn)而通過x₁∈[$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵雙曲線2x²-2y²=1即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$的焦點為（-1，0）、（1，0），
∴所求橢圓的焦點為（-1，0）、（1，0），
設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
又∵a²-b²=1，∴b²=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），由（1）知F₁（-1，0），
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$=（-x₁，-y₁）•（-1-x₁，-y₁）
=${{x}_{1}}^{2}$+x₁+${{y}_{1}}^{2}$
=${{x}_{1}}^{2}$+x₁+（1-$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$）
=$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$+x₁+1
=$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+1）^{2}$$+\frac{1}{2}$，
∵x₁∈[$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$∈[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}+2$]．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．