Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-6x²+3與直線y=a有三個交點，則a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知得f′（x）=6x²-12x，令f′（x）=0，得x=0或x=2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）_極小值=f（2）=-5，f（x）_極大值=f（0）=3，由函數(shù)f（x）=2x³-6x²+3與直線y=a有三個交點，能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=2x³-6x²+3，
∴f′（x）=6x²-12x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間是（0，2），
∴f（x）_極小值=f（2）=-5，f（x）_極大值=f（0）=3，
∵函數(shù)f（x）=2x³-6x²+3與直線y=a有三個交點，
∴-5＜a＜3．
∴a的取值范圍是（-5，3）．
故答案為：（-5，3）．

點評：本題主要考查了函數(shù)零點與圖象交點間的關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化，三次函數(shù)零點個數(shù)問題，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用