Question

5．已知各項均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n²≤1，1≤a₁²+a₂²+…+a_n²≤m，m，n∈N^*．
（1）若m=1，n=2，寫出所有滿足條件的數(shù)列{a_n}；
（2）設(shè)滿足條件的{a_n}的個數(shù)為f（n，m）．
①求f（2，2）和f（2016，2016）；
②若f（m+1，m）＞2016，試求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）若m=1，n=2，1≤$a_1^2+a_2^2$≤1，又$a_n^2$≤1，即可求得所有滿足條件的數(shù)列{a_n}；
（2）①）當(dāng)m=n=2時，1≤$a_1^2+a_2^2$≤2，由a₁、a₂可能取值為0，1，-1，則a₁、a₂取值共有：3²-1=8種，
當(dāng)m=n=2016時，1≤$a_1^2+a_2^2+…+a_{2016}^2$≤2016，a₁、a₂、a₂₀₁₆可能取值為0，1，-1，共有：3²⁰¹⁶-1種；
②由f（m+1，m）=3^m+1-1-2^m+1，將原式轉(zhuǎn)換為3^m+1-2^m+1＞2017，構(gòu)造輔助函數(shù)g（m）=3^m+1-2^m+1，做差g（m+1）-g（m）=2×3^m+1-2^m+1＞0，g（x）單調(diào)遞增，又g（6）=2059成立，即可求得m的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)m=1，n=2時，1≤$a_1^2+a_2^2$≤1，又$a_n^2$≤1
∴{a_n}為0，1或0，-1或1，0或-1，0
（2）①當(dāng)m=n=2時，1≤$a_1^2+a_2^2$≤2，a₁、a₂取值共有：3²-1=8種，
即f（2，2）=8，
又當(dāng)m=n=2016時，1≤$a_1^2+a_2^2+…+a_{2016}^2$≤2016，a₁、a₂、a₂₀₁₆取值共有：3²⁰¹⁶-1種；
即f（2016，2016）=3²⁰¹⁶-1f（m+1，m）＞2016即1≤$a_1^2+a_2^2+…+a_{m+1}^2$≤m
②數(shù)列{a_n}需滿足不能全為0，不能沒有0（即每項均為1或-1），
∴f（m+1，m）=3^m+1-1-2^m+1，
即考慮3^m+1-2^m+1-1＞2016，
令g（m）=3^m+1-2^m+1，
則g（m+1）-g（m）=2×3^m+1-2^m+1＞0
∴g（m）單調(diào)增
又g（6）=2059成立，
∴m最小值為6．

點評 本題以數(shù)列為模型考查數(shù)列的取值、計數(shù)原理的應(yīng)用及采用做差法求函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題及解決問題的能力，綜合應(yīng)用能力強(qiáng)，屬于中檔題．