Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²圖象上一點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)f'（2）=-3得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，再將x=2代入切線方程得到f（2）的值從而求出a，b，再確定函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而表示出函數(shù)h（x）后對(duì)其求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性與其極值點(diǎn)確定關(guān)系式得到答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=alnx-bx²的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a

x

-2bx，
由切線方程得f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2=2ln2-4．
解得a=2，b=1．
則f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h′（x）=

2

x

-2x，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

，e]內(nèi)，當(dāng)x∈[

1

e

，1）時(shí)，h'（x）＞0，即h（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，h'（x）＜0，即h（x）是減函數(shù)．
則方程h（x）=0在[

1

e

，e]內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e)≤0

，
即1＜m≤2+

1

e2

．
故答案為：（1，2+

1

e2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．