Question

9．已知一個(gè)圓經(jīng)過直線l：2x+y+4=0與圓C：x²+y²+2x-4y=0的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．

Answer 1

分析 設(shè)出所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+λ（2x+y+4=0）=0，找出此時(shí)圓心坐標(biāo)，當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)，圓的半徑最小，可得此時(shí)面積最小，把表示出的圓心坐標(biāo)代入2x+y+4=0中，得到關(guān)于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，進(jìn)而確定出所求圓的方程．

解答 解：可設(shè)圓的方程為x²+y²+2x-4y+λ（2x+y+4）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ=0，
此時(shí)圓心坐標(biāo)為（-1-λ，$\frac{4-λ}{2}$），
顯然當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，
∴2（-1-λ）+$\frac{4-λ}{2}$+4=0，
解得：λ=$\frac{8}{5}$，
則所求圓的方程為：x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．
故答案為：x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程，找出圓心坐標(biāo)，得出圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)面積最小是解本題的關(guān)鍵．