Question

4．（1）已知a，b為正整數(shù)，a≠b，x＞0，y＞0．試比較$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{{y}$與$\frac{（a+b）^2}{x+y}$的大小，并指出兩式相等的條件．
（2）用（1）所得結(jié)論，求函數(shù)y=$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）展開(kāi)（x+y）（$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{{y}$）=a²+b²+$\frac{y{a}^{2}}{x}$+$\frac{x^{2}}{y}$，再由基本不等式可得$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{{y}$與$\frac{（a+b）^2}{x+y}$的大小和等號(hào)成立的條件；
（2）將函數(shù)y=$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）化為y=$\frac{9}{3x}$+$\frac{4}{1-3x}$，即可運(yùn)用第一題的結(jié)論，求得最小值．

解答 解：（1）a，b為正整數(shù)，a≠b，x＞0，y＞0，
可得（x+y）（$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{{y}$）=a²+b²+$\frac{y{a}^{2}}{x}$+$\frac{x^{2}}{y}$
≥a²+b²+2$\sqrt{\frac{y{a}^{2}}{x}•\frac{x^{2}}{y}}$=a²+b²+2ab=（a+b）²，
即有$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{{y}$≥$\frac{（a+b）^2}{x+y}$，當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取得等號(hào)；
（2）函數(shù)y=$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）
即為y=$\frac{9}{3x}$+$\frac{4}{1-3x}$，
由（1）可得$\frac{9}{3x}$+$\frac{4}{1-3x}$≥$\frac{（3+2）^{2}}{3x+1-3x}$=25．
當(dāng)且僅當(dāng)6x=3（1-3x），即x=$\frac{1}{5}$時(shí)，取得最小值25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的大小和函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．