Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域為R；②對任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③當x∈[-1，1]時f（x）=-|x|+1．則方程f（x）=log₄|x|在區(qū)間[-7，7]內(nèi)的解個數(shù)是（　　）

• A、10
• B、9
• C、8
• D、12

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令-3≤x≤-1則-1≤x+2≤1，由f（x+2）=2f（x），求出f（x），同理求出-5≤x≤-3、-7≤x≤-5、1≤x≤3、3≤x≤5、5≤x≤7的函數(shù)f（x）的解析式，并畫出圖象，再畫出y=log₄|x|的圖象，觀察得出交點個數(shù)，即為方程解的個數(shù)．

解答： 解：令-3≤x≤-1則-1≤x+2≤1，
∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=

1

2

（1-|x+2|）（-3≤x≤-1）①
令-5≤x≤-3則-1≤x+4≤1，f（x+4）=1-|x+4|，又f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=

1

4

（1-|x+4|）（-5≤x≤-3）②
則-7≤x≤-5時，f（x）=

1

8

（1-|x+6|）③
當1≤x≤3時，-1≤x-2≤1，f（x-2）=1-|x-2|
又f（x-2）=

1

2

f（x），即f（x）=2（1-|x-2|），
同理3≤x≤5時，
f（x）=4（1-|x-4|）④
當5≤x≤7時，f（x）=8（1-|x-6|）⑤
如圖所示f（x）的圖象，
再畫出y=log₄|x|的圖象，觀察得出交點數(shù)為8，
即方程f（x）=log₄|x|在區(qū)間[-7，7]內(nèi)的解個數(shù)是8．
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點個數(shù)，以及函數(shù)的圖象的畫法，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法．