Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$ cos（2x+θ）（x∈R）滿足2015^f（-x）=$\frac{1}{{{{2015}^{f（x）}}}}$，且f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)，則θ的一個可能值是（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{5π}{3}$

Answer 1

分析 由題意易得f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）且是奇函數(shù)，可得θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），結(jié)合單調(diào)性驗證選項可得．

解答 解：化簡可得f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
由2015^f（-x）=$\frac{1}{{{{2015}^{f（x）}}}}$可得2015^{f（-x）+f（x）}=1，
∴f（-x）+f（x）=0，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），即θ=kπ-$\frac{π}{3}$，
故B，D可能正確，
又∵f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)，
∴D不滿足條件．
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)公式，涉及函數(shù)的奇偶性，屬基礎(chǔ)題．