Question

4．若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的一個區(qū)間[a，b]（a＜b）上函數(shù)值的取值范圍恰好是$[\frac{a}{2}，\frac{2}]$，則稱區(qū)間[a，b]（a＜b）是函數(shù)f（x）的一個減半壓縮區(qū)間．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-1}$+m存在一個減半壓縮區(qū)間[a，b]（（b＞a≥1）．
（1）當m=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的減半壓縮區(qū)間為[1，5]；
（2）m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 （1）通過求導容易判斷f（x）在[a，b]上是增函數(shù)，令$\sqrt{x-1}$=t，t≥0，x=t²+1，所以該方程變成t²-2t+1-2m=0，把m的值代入求出方程的解，問題得以解決．
（2）由（1）所以這個關于t的方程有兩不等實根，且小根大于等于0，解該不等式組即得m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$；
∴函數(shù)f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴x∈[a，b]時，f（x）∈[$\sqrt{a-1}$+m，$\sqrt{b-1}$+m]；
∵[a，b]是f（x）的減半壓縮區(qū)間；
∴f（x）∈$[\frac{a}{2}，\frac{2}]$；
∴$\sqrt{a-1}$+m=$\frac{a}{2}$，$\sqrt{b-1}$+m=$\frac{2}$，即方程$\sqrt{x-1}$+m=$\frac{x}{2}$有兩不等實根；
令$\sqrt{x-1}$=t，x=t²+1，所以該方程變成：t²-2t+1-2m=0，
當m=$\frac{1}{2}$時，
t²-2t+1-2×$\frac{1}{2}$=0，解得t=0或t=2，
即$\sqrt{x-1}$=0，或$\sqrt{x-1}$=2，
解得x=1，或x=5，
故函數(shù)f（x）的減半壓縮區(qū)間為[1，5]，
（2）有（1）知，則關于t的一元二次方程有兩個不等實根，且兩根非負；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4（1-2m）＞0}\\{1-2m≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤$\frac{1}{2}$；
∴實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]
故答案為：[1，5]，$（0，\frac{1}{2}]$．

點評 考查函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，一元二次方程的解的情況和判別式△的關系，以及韋達定理，屬于中檔題．