Question

5．一對父子參加一個親子摸獎游戲，其規(guī)則如下：父親在裝有紅色、白色球各兩個的甲袋子里隨機取兩個球，兒子在裝有紅色、白色、黑色球各一個的乙袋子里隨機取一個球，父子倆取球相互獨立，兩人各摸球一次合在一起稱為一次摸獎，他們?nèi)〕龅娜齻�球的顏色情況與他們獲得的積分對應(yīng)如表：

所取球的情況	三個球均為紅色	三個球均不同色	恰有兩球為紅色	其他情況
所獲得的積分	180	90	60	0

（1）求一次摸獎中，他們所獲得的積分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望
（2）按照以上規(guī)則重復(fù)摸獎三次，求至少有兩次獲得積分為60的概率．

Answer 1

分析 （1）求出X的取值，再求出取各個值的概，列出分布列，再由期望公式求期望；
（2）所取三個球恰有兩個是紅球，包含兩類基本事件，即父親取出兩個紅球，兒子取出一個不是紅球；父親取出兩球為一紅一白，兒子取出一球為紅球，然后利用古典概型概率計算公式及互斥事件的加法公式求得一次摸獎中，所取的三個球中恰有兩個是紅球的概率，再由二項分布的定義知，三次摸獎中恰好獲得60個積分的次數(shù)Y～B（3，$\frac{1}{3}$），然后結(jié)合互斥事件的概率公式求得答案．

解答 解：（1）X可以取180，90，60，0，取各個值的概率分別為：
P（X=180）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{18}$，P（X=90）=$\frac{{C}_{2}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{{C}_{3}^{1}}=\frac{2}{9}$，
P（X=60）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=1-$\frac{1}{18}-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$．
所求分布列為：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

隨機變量X的期望E（X）=180×$\frac{1}{18}$+90×$\frac{2}{9}$+60×$\frac{1}{3}$+0×$\frac{7}{18}$=50；
（2）設(shè)所取三個球恰有兩個是紅球為事件A，
則事件A包含兩類基本事件：父親取出兩個紅球，兒子取出一個不是紅球，其概率為$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}=\frac{1}{9}$；
父親取出兩球為一紅一白，兒子取出一球為紅色其概率為$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}=\frac{2}{9}$．
故P（A）=$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$．
由二項分布的定義知，三次摸獎中恰好獲得60個積分的次數(shù)Y～B（3，$\frac{1}{3}$），
則P（Y≥2）=P（Y=2）+P（Y=3）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{7}{27}$，
故至少有兩次獲得積分為60的概率為$\frac{7}{27}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，考查了二項分布，是中檔題．