Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3．
（1）若f（x）在（﹣∞， ]是減函數(shù)，在[ ，+∞）是增函數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，5]的最大值和最小值．
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，并指出相應(yīng)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（﹣∞， ]是減函數(shù)，在[ ，+∞）是增函數(shù)，

故函數(shù)圖象開口朝上，且以直線x= 為對稱軸，

即﹣a= ，a=﹣ ，

∴f（x）=x2﹣x+3，

在區(qū)間[﹣1，5]上，

當(dāng)x= 時，函數(shù)取最小值 ，

當(dāng)x=5時，函數(shù)取最大值23．

（2）解：函數(shù)f（x）=x2+2ax+3的圖象開口朝上，且以直線x=﹣a為對稱軸，

若f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，

則﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，

即a≤﹣5，或a≥5，

當(dāng)a≥5時，在[﹣5，5]上是增函數(shù)，

當(dāng)a≤﹣5時，在[﹣5，5]上是減函數(shù)

【解析】（1）若f（x）在（﹣∞， ]是減函數(shù)，在[ ，+∞）是增函數(shù)，則函數(shù)圖象開口朝上，且以直線x= 為對稱軸，求出a值，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，5]的最大值和最小值．（2）函數(shù)f（x）=x2+2ax+3的圖象開口朝上，且以直線x=﹣a為對稱軸，若f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，進(jìn)而得到答案．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．