Question

17．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點的坐標分別是（-2，0），（2，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于6，求橢圓的方程；
（2）橢圓的焦點為F₁（0，-5），F(xiàn)₂（0，5），點P（3，4）是橢圓上的一個點，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點在x軸上，c=2，根據(jù)橢圓的定義a=3，利用a與b和c之間的關(guān)系，即可求得橢圓的方程；
（2）由題意的焦點在y軸上，c=5，將點代入橢圓方程即可求得a和b的值，求得橢圓的方程．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2，
橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于6，即2a=6，則a=3，
b²=a²-c²=5，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=5，
由a²=b²+c²=b²+25，
將P（3，4）代入橢圓方程：$\frac{{y}^{2}}{^{2}+25}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，解得：b²=15，
∴橢圓的方程$\frac{{y}^{2}}{40}+\frac{{x}^{2}}{15}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，考查計算能力，屬于中檔題．