Question

14．方程lg（cosx+sinx）=lg（2cos²x-1）的解集是{x|x=2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 lg（cosx+sinx）=lg（2cos²x-1），可得cosx+sinx=2cos²x-1＞0，利用倍角公式化為（cosx+sinx）（1-cosx+sinx）=0，可得sinx-cosx=-1，利用和差公式化簡即可得出．

解答 解：∵lg（cosx+sinx）=lg（2cos²x-1），
∴cosx+sinx=2cos²x-1＞0，
∴（cosx+sinx）-（cos²x-sin²x）=0，
化為（cosx+sinx）（1-cosx+sinx）=0，
∴sinx-cosx=-1，
化為$sin（x-\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$x-\frac{π}{4}$=$2kπ-\frac{π}{4}$，或x-$\frac{π}{4}$=2kπ+π+$\frac{π}{4}$．（k∈Z）．
化為x=2kπ或x=2kπ+$\frac{3π}{2}$．
經(jīng)過驗證x=2kπ+$\frac{3π}{2}$不滿足條件．
∴原方程的解集為{x|x=2kπ，k∈Z}．
故答案為：{x|x=2kπ，k∈Z}．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．